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分析动态电路的过渡过程的方法之一是：根据KCL、KVL和支路的VCR建立描述电路的方程，一般是已知激励(电源电压或电流)，然后求解微分方程，从而得到电路的响应(电压或电流)。这种方法称为经典法。由于电路的激励和响应都是时间的函数，所以这种分析也是时域分析。

我们先来学习RC电路的零输入响应。所谓零输入响应，是指动态电路中无外施激励电源，输入信号为零，仅由动态元件(电感元件或电容元件)的初始储能所产生的响应。下图41-1所示的RC电路中，换路前，电容C已充电，其电压uC=U。

图41-1

图41-1中的电流、电容电压与电阻电压都是用小写，这是表示它们是瞬时值。而i=-CduC/dt中的负号，是因为电容电压和电流是非关联参考方向，这也表明电容是放电的。根据KVL和VCR建立方程，可以得到一个一阶齐次微分方程。所谓一阶，是指方程中关于uC的导数是一阶导数(duC/dt)，在电路中表现为仅含一个储能元件或可等效为一个储能元件的电路;齐次在这里指的是等号右边为零。关于微分方程，大家也不必深究，知道是什么就行，我们要知道的是这个方程是怎样建立起来的。

图41-1中关于RC动态电路的零输入响应所建立的一阶齐次微分方程，其初始条件uC(0 )=uC(0-)=U，即换路前后(开关闭合)瞬间电容电压uC不能突变，为电容初始电压U。微分方程的计算过程我们不用管，直接引用它的通解公式，即令方程的通解uC =Aept，如图41-2所示。将该通解代入图41-1的方程中，得到其特征方程，特征根为p=-1/RC。然后根据uC(0 )=uC(0-)=U，令t=0，代入通解公式uC=Aept中可以得到积分常数A=uC(0 )=U。这样，求得满足初始值的微分方程的解如图41-2所示。式(3)就是电容元件放电过程中的电压uC的表达式。

图41-2

根据电容元件放电过程中的电压uC的表达式和KVL、VCR，可以得出，电容的电流与电阻的电压如图41-3所示。

图41-3

从这些表达式可以看出，电压uC、uR以及电流i都是按同样的指数规律从初始值衰减的，它们衰减的快慢由1/RC决定。根据方程的特征根p=-1/RC，仅取决于电路的结构和元件的参数。引入时间常数τ，令τ=RC，称为RC电路的时间常数。可以称τ为时间常数，这也是因为，当电阻的单位为Ω(R=u/i，即伏/安)，电容的电位为F(C=idt/du，即安·秒/伏)时，乘积RC的单位为秒(s)。

图41-4

引入时间常数τ后，电容电压uC和电流i的表达如图41-4。τ的大小反映了一阶电路过渡过程的进展速度，它是反映过渡过程特征的一个重要的量。可以计算得时间t分别等于0和τ时的电容电压值。即经过一个时间常数τ后，电容电压uC衰减了63.2%。或者说，

时间τ表示了电压uC衰减到初始值U的36.8%所需的时间。分别计算出t=τ，t=2τ，t=3τ，…时刻的电容电压值列表如图41-5所示。从表可见，理论上认为经过无限长时间(t=∞)uC才能衰减为零值。但工程上一般认为换路后，经过3τ～5τ时间过渡过程即告结束。也就是说，经过3τ～5τ时间后，电容放电基本结束。

图41-5

RC动态电路的电压uC、uR及电流i随时间变化的曲线如图41-5所示。在放电过程中，电容不断放出能量并被电阻所消耗;后，原来储存在电容中的电场能量全部为电阻吸收而转换成热能。

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